bentehlike
06-10-2008, 22:15
Tarih Öncesi Ça?larda Aritmetik
Say? ve biçime ili?kin kavramlarla tan??mam?z Yontma Ta? Devri’ne kadar uzan?r .Yüzbinlerce y?l boyunca insanlar , hayvanlar?n ya?ad??? ko?ullardan pek farkl? olmayan bir biçimde ma?aralarda ya?ad?lar .Enerjilerinin ço?unu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harc?yorlard? .Avlanmak ve bal?k tutmak için silahlar? , birbirleriyle anla?mak için konu?ma dilini geli?tirdiler .Yontma Ta? Devri’nin sonlar?na do?ru da yarat?c? sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak ya?amlar?n? renklendirdiler .Fransa ve ?spanya’daki yakla??k 15.000 y?l öncesinin ma?ara duvar resimlerininayinsel bir anlam? olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlay??? gösteriyorlard? .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine geli?mi?ti ki , yüzlerce mil uzakl?ktaki köyler aras?ndaki ili?kilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bak?r?n daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yap?ld? .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da geli?mesine yol açt? .Bu dillerdeki nesnelerin ço?unlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az say?da olmas?na kar??n baz? say?sal terimler ortaya ç?kt? .Benim dü?üncelerime göre matemati?in ilk kez ortaya ç?kt??? ça? Maden Ça??d?r .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan akl?n?n ürünü en soyut dü?ünceler” olarak tan?mlad??? say?sal terimlerin kullan?lmaya ba?lanmas? çok yava? oldu .Bunlar ilk ortaya ç?kt?klar?nda bir cismin say?s?n? de?il niteli?ini gösteriyordu .Örne?in ; “bir insan” de?il sadece “insan” kavram?n? gösteriyordu .Say?sal kavramlar?n bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi baz? dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Say? kavram? geli?tikçe toplama yoluyla daha büyük say?lar olu?turuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
??te baz? Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin geli?mesi say? kavram?n?n netle?mesine yard?m etti .Say?lar , ticaret yaparken do?al bir yöntem olan bir ya da iki elin parmaklar? kullan?larak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak ?imdiki okullarda okuyan küçük s?n?flarda ki çocuklar?n sayma yöntemini verebilirim .Bu olay?n sonucunda önce 5 sonra 10 tabanl? say? sistemleri olu?turulup , bunlar toplama ve bazen ç?karma ile tamamland? .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak alg?land? .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklar?n?n toplam say?s? olan 20 kullan?ld? .Yap?lan ara?t?rmalara göre Amerikan yerlilerinin kulland??? 307 say? siteminden 146’s? onluk , 106’s? onluk , onikilik ve yirmilik say? sistemlerinin kar???m?yd? .Ço?u ki?i taraf?ndan yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok say? sisteminin olmas? önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onlar?n da en az bizim kadar zeki olduklar?n? anlad?m .Yirmili say? sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler taraf?ndan kullan?ld? .
Say?lar kümelere ayr?larak , tahtan?n üstüne çentik , ipin üstüne dü?üm at?larak ya da deniz kabuklar?n?n be?li y???nlar biçiminde düzenlenmesiyle say?sal kay?tlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hanc?lar?n?n çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarl???n do?u?u da denen yaz?l? tarihin ba?lang?c?ndan beri kullan?lm??t?r .
Yontama Ta? Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubu?u 1937’de Vestonica’da bulunmu?tur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunlu?undaki ön kol kemi?iydi ve üzerinde ilk 25’i be?li gruplar halinde düzenlenmi? 55 çentik bulunmaktayd? .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vard? .Yeni dizinin ba??ndaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten olu?an bir dizi izliyordu .
Böylece , s?k s?k söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayal?yd? .” görü?ü geçerlili?ini kaybetmi? oldu .Yaz? olmamas?na ra?men Yontma Ta? Devrin’deki insanlar?n çetele çubuklar?n? duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullan?larak say? saymak yani 5’erli 10’arl? saymak ancak toplumsal geli?imin belirli bir a?amas?nda ortaya ç?kar .Bu a?amadan sonra say?lar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük say?lar?n ortaya ç?kmas?na yard?m etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya ç?kt? .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20’nin 10+10 de?il de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma ba?lad? .Bölme , 10’un “vücudun yar?s?” olarak gösterilmesiyle ba?lad? , ama kesirlerin bilinçli bir ?ekilde olu?turulmas? hala çok enderdi .Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaç?nda böyle kesirler biliniyordu , ço?u durumda bu ½’ydi .Bazen 1/3
ya da ¼’de kullan?l?yordu .Bir ba?ka ilginç durum çok büyük say?lara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklü?ü ya da öldürülen dü?manlar?n çoklu?unu abartma iste?inin sonucudur .Bu e?ilimin kal?nt?lar? ?ncil’de ve di?er kutsal metinlerde de ortaya ç?kar .
Tarih Öncesi Ça?larda Geometri
Cisimlerin uzunluklar?n? ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullan?larak ; parmak , ayak , kar?? gibi basit ölçüler kullan?ld? .Ar??n , kulaç adlar? bize bu gelene?i hat?rlat?r .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yap?lar? düz çizgiler boyunca ve yere göre dik aç?yla yapmak için kurallar geli?tirdiler .Örne?in ; “Düz sözcü?ü “germek” sözcü?ü ile ilgilidir ve iple yap?lan i?lemleri gösterir .”Do?ru” ve “Keten kuma?” sözcükleri , dokumac?l?k ile geometrinin ba?lang?c? aras?ndaki ba?lant?y? gösterir .Dokumac?l?k ölçmeye ili?kin ilginin ba?lama yollar?ndan biriydi .
Cilal? Ta? Devri insan? geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pi?irilmesi ve boyanmas? , sazlar?n örülmesi , sepet yap?m? ve kuma? dokumac?l??? , daha sonra da metallerin i?lenmesi , düzlemsel ve alansal ili?kilerin kavranmas?n? geli?tirdi .Dans figürleri de bunda rol oynam?? olmal? ki Cilal?ta? Devri’nde yap?lan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; e? ?ekiller kullan?l?rd? .Baz? tarih öncesi desenler de üçgensel say?lar , baz?lar?nda ise “kutsal” say?lar yer al?yordu .Pisagor matemati?inde önemli rol oynayan üçgensel say?lar?n olu?turulma çabalar? yans?maktad?r .
Bu tür desenler tarih boyunca yayg?n olarak kullan?lm??t?r .Bunlar?n çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolar?nda , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar hal?lar?nda rastlan?r .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlam? olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana ç?km??t?r .
Ta? Devri dinlerinde , do?a güçlerine egemen olma çabas?n?n ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü ö?esi de o zamanlar var olan say? ve biçime ili?kin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli say?lar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vard? .Matemati?in toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikle?mi?se de insanl?k tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler aç?kça görülebilmektedir ve baz? yazarlar , matemati?in bu yönünün onun geli?iminde belirleyici oldu?u görü?ündedir .”Modern” say? bilimi , Cilal? hatta belki de Yontma Ta? Devri’nin büyü törenlerinin miras?d?r .
Zaman Kavram?
En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavr¤¤¤¤¤ rastlan?r ve bunun sonucu olarak da Güne? Ay ve y?ld?zlar?n hareketleriyle ilgili baz? bilgileri edinmi?lerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geli?tikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya ba?lad? .Bitkilerdeki de?i?imlerin Ay’daki de?i?imlerle ili?kilendirildi?i Ay takviminin kullan?lmas? , insanl?k tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzan?r .?lkel insanlar gündönümünü ya da ?afakta yedi y?ld?zl? Süreyya burcunun yükseli?ini ilgiyle izliyordu .?lk uygarl?klar? kuran insanlar?n astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayan?yordu .?lk insanlar , tak?m y?ld?zlar?ndan denizcilikte yararland?lar .Astronomiye ili?kin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve aç?sal yönlerin özellikleri hakk?nda bilgi edinildi .
Matemati?in ba?lang?c?na ili?kin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel geli?iminin , ?imdi bu alandaki ö?retimde geli?tirdi?imiz a?amalarla çak??mayabilece?ini göstermektedir .?nsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan dü?ümlere ve desenlere ancak son y?llarda bilimsel bir ilgi gösterilmi?tir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matemati?in temel dallar?n?n ba?lang?c? modern zamanlardad?r .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda ?öyle dü?ünmektedir :
“Matemati?e giri?in do?as?nda var olan s?k?c?l???n ön plana ç?kma e?iliminin geç ba?lang?c?n?n sonucu oldu?u söylenebilir ; çünkü yarat?c? bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle u?ra?may? ye?ler .”
ESK? UYGARLIKLARIN MATEMAT?KLER?
Do?u Matemati?i
Do?u matemati?i uygulamal? bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanmas? , tar?msal üretim ve bay?nd?rl?kla ilgili i?lerin örgütlenmesi , vergilerin toplanmas? uygulamal? aritmetik ve ölçme sorunlar?na öncelikle a??rl?k verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte , yüzy?llar boyunca özel bir zanaat olarak geli?en bilim yaln?zca uygulamaya yönelik de?ildi ; s?rlar ö?retilirken , soyutlamayayönelik e?ilimler de ortaya ç?kt? .Aritmeti?in cebire dönü?mesi yaln?zca daha pratik hesaplamalar sa?lad??? için olmad? ; bu , ayn? zamanda yaz?c? okullar?nda ö?retilen bir bilimin do?al bir geli?imiydi .Ayn? nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin ba?lang?c?n? olu?turdu .
M?s?r Matemati?i
M?s?r matemati?ine ili?kin bilgilerimizin ço?u iki kayna?a dayan?r .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 y?l öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü’dür .Bu elyazmalar? düzenlenirken , içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yak?n dönemden , hatta Roma döneminden kalma az say?daki papirüsteki yöntemler de bundan farkl? de?ildi .Kulland?klar? matematik onlu say? sistemine dayan?yordu ve 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullan?l?yordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlar?ndan biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan M?s?rl?lar , çarpmay? ard???k toplamalara indirgeyen , toplama a??rl?kl? bir aritmetik geli?tirdi .Örne?in , bir say?y? 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8’le çarp?yorlard? daha sonra ç?kan sonucu say?n?n kendisine ekliyorlard? .Bu i?lemi yaparak inceleyelim :
Normal çarpma i?lemi :3´13=39
M?s?rl?lar?n kulland??? yöntem :
3´4 =12
3´8 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldü?ü gibi sonuç ayn? .M?s?r matemati?inin en önemli yönü kesirlerle yap?lan hesaplamalard?r .Bütün kesirler , pay? bir olan birim kesirlerin toplam? olarak yaz?l?rd? .
Baz? problemlerin teorik yanlar? a??r bas?yordu .Örne?in 100 somun ekme?i 5 ki?i aras?nda , her birine dü?en pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 pay?n toplam?n?n yedide biri en küçük iki pay?n topl¤¤¤¤¤ e?it olacak biçimde bölü?türülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi , her kedinin kovalad??? 7 farenin oldu?u problem , geometrik olarak artan bir serinin toplam?n?n formülünü bildiklerini gösteriyordu .
Böyle problemler için yaz?lm?? ?iirler , ?ark?lar bile vard?r .?u ?iiri an?msayal?m :
“St. Ives’e giderken
7 kar?s? olan bir adamla kar??la?t?m
Her kar?s?n?n yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vard?
Her yavrununda yedi ç?ng?ra?? vard?
Yavrular , kediler , sepetler , kad?nlar ve ç?ng?raklar
Kaç tanesi St. Ives’e gidiyordu?
Mezopotamya Matemati?i
Mezopotamya matemati?i , M?s?r matemati?inin hiçbir dönemde ula?amad??? bir düzeye eri?ti .Burada yüzy?llar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100’deki en eski metinlerde bile geli?mi? hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10’lu sistemin üzerine 60’l? sistemin eklendi?i çarp?m tablolar? bulunmaktayd? .1 , 60 , 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2’yi gösteren çiviyaz?s? simgeler kullan?lm??t? .Ama bu onlar?n matemati?inin tipik özelli?i de?ildi .M?s?rl?lar daha büyük her say?y? yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler ayn? simgeyi kullan?p de?erini bulundu?u yere göre belirliyorlard? .
Ayr?ca 60’l? say? sistemi insanl???n kal?c? bir kazan?m? oldu .Günümüzde kulland???m?z saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de , dairenin 360 dereceye , her derecenin 60 dakikaya , her dakikan?n da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler’e kadar uzan?r .Birim olarak 10 yerine 60’?n al?nmas?n?n sebebi ölçme sistemlerini birle?tirmek olabilece?i gibi 60’?n birçok böleninin olmas? da nedenlerden biri olabilir .
MISIR H?YEROGL?FLER?
E?er yaz?lar?n?z? eski M?s?r hiyeroglifleriyle yazarsan?z ço?u ki?i bunlar? okumaya çal??maktan vazgeçecektir .
Eski M?s?r Hiyeroglifleri’nden M?s?r rakamlar?n? ö?renmek çok kolayd?r ; çünkü hepsinin bir görsel anlam? vard?r .Büyük bir olas?l?kla yaz? yazmaya ba?lamadan once M?s?rl?lar , say? saymak için parmaklar?n? kullan?yorlard? .Ba?ka birinin okumas? için say? düzenlemeleri gerekti?inde de , yine büyük bir olas?l?kla , yan yana s?ralanm?? yapraklar , ip parçalar? ve çiçekler b?rak?yorlard? .Neden mi böyle dü?ünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yaz? sistemini geli?tirdiklerinde , yaprak ip parçalar? , çiçek ve hatta y?lan ve iriba?lar kullanm??lar .
S?H?RL? MATEMAT?K
Say?lar ?a?maz .Bu matemati?in temelidir .Hüner , bu say?lar? yerinde kullanabilmekte ve aralar?ndaki ba??nt?lar?n özelli?ini tan?yabilmektedir .
Biz de istersek , küçük bir çaba ile matemati?in sihirli yönünü tan?yabiliriz .Tam say?lar aras?ndaki dört i?lemi yapabilen her ö?renci bu matematik oyunlar?n? ö?renebilir ve uygulayabilir .
Oyun 1 :Kar??n?zdakinin hangi ay ve günde do?du?unu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki kar??n?zdaki ?u iste?inizi s?ras?yla yerine getirsin .
Do?du?u ay kaç?nc? ay ise onu 5 ile çarps?n .7 eklesin .4 ile çarps?n .Sonra 13 eklesin .5 ile çarps?n .Ç?kan say?ya do?um gününü eklesin .Ç?kan say?y? sorun ve bu say?dan 205 say?s?n? ç?karmas?n? isteyin .Sonuçta ilk rakam do?du?u ay , di?er iki rakam ise do?um günüdür .
Oyun2 :Arkada??n?z?n ya?? ile birlikte ev numaras?n? da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numaras?n? iki ile çarps?n .Haftan?n? günlerini eklesin .Ç?kan? 50 ile çarps?n .Ya??n? eklesin 365 ç?kars?n .15 eklesin .Elde edilen say?n?n son iki rakam? ya? ondan öncekiler ev numaras?d?r .
Oyun3 :Ço?unuz do?um gününüzün y?l?n kaç?nc? ay? ve günü oldu?unu bilirsiniz de Bunun haftan?n hangi gününe rastlad???n? kesin olarak bilemezsiniz .Ya da tarih kitaplar?nda ?öyle bir tarih görürsünüz .4 Temmuz 1862 .Acaba bu tarih haftan?n hangi gününe rastl?yor diye merak edersiniz .?imdi yapaca??m?z i?lem bu günü bulamam?z? sa?layacakt?r .
Do?um y?l?n?z?n son iki rakam?n? yaz?n .Örne?in , siz 1990’da may?s?n 25’inde do?mu? olsan?z , ilk yazaca??nn?z say? 90’d?r .Bunu dörde bölün .Artan varsa at?p tam bölümü al?n .Örnekte bu 22’dir .A?a??da anahtar?n? verdi?imiz do?uma ay?na ait rakam? al?n .Bu örnekte anahtar 2’dir .Ay?nc? kaç?nc? gününde do?mu?san?z o say?y? da al?n .Bu örnekte 25’dir .?imdi 1,2,3,4 numaral? anlat?mlardaki say?lar? toplay?n .Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakam? 7’ye bölün .Bölümü at?n , kalan? al?n .Kalan say?yla 2.sonuç levhas?nda do?um gününüzü bulabilirsiniz .
Anahtar Say?lar :Ocak 1 , ?ubat 4 , Mart 4 , Nisan 0 , May?s 2 , Haziran 5 , Temmuz 0 , A?ustos 3 , Eylül 6 , Ekim 1 , Kas?m 4 , Aral?k 6 .
Sonuç Levhas? : 2 Pazartesi , 3 Sal? , 4 Çar?amba , 5 Per?embe , 6 Cuma , 0 Cumartesi , 1 Pazar .
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Do?um y?l?n?z art?k y?l yani 366 günlük y?l ise , anahtar levhas?nda ?u de?i?ikli?i yap?n?z : Ocak 0 , Haziran 3 .
MATEMAT?K B?LEN ALDANMAZ
A. Paulosbirincisi kurmaca , ikincisi gerçek olan iki öykü anlat?yor .
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmi? dola??yorlar .Biri di?erine , “Bulabildi?in en büyük say?y? söyle bakal?m diyor .” ?kincisi biraz dü?ündükten sonar sevinçle “ÜÇ” diye hayk?r?yor .Soru soran bir süre dü?ündükten sonar , pes ediyor ve oyunu kaybediyor .
?kinci öyküyse , matematikçi G. H. Hardy’yle ba?ka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujan’? ziyarete gitmi? .Laf olsun diye söze ?öyle ba?lam?? : “Gelirken bindi?im taksinin numaras? çok s?radand? :1729 “Romanujan hemen at?lm?? :”S?radan olur mu hiç ?… Son derece ilginç bir say? bu ! ?ki farkl? biçimde iki say?n?n küpünün toplam? olarak yaz?labilecek en küçük say? bu !”(Merakl?lar? için verelim .12 ve 1 , 10 ve 9’un küpleri sonucu sa?l?yor.)
Ramanujan , büyük say?larla bile karma??k i?lemler yapmada ustala?m?? biriydi .Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes etti?ine gore belli ki 3’ten daha büyük bir say? hayal edemiyor .Bu ilk bak??ta inan?lmaz gibi görünebilir .Yine de hemen aldanmay?n .Avustralya’daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3’e kadar bile tam anlam?yla sayam?yorlar .Bu insanlar?n dillerinde sadece 1 ve 2’yi anlatan sözcükler var .3 için biriki , 4 için ikiiki .4’ten sonraki tüm say?lar ise “çok” .Asl?nda çok büyük say?lar? anlatman?n çok çe?itli yollar? var .Sözgelimi birin pe?ine kaç tane 0 koydu?umuzu söyleyebiliriz .
CANLI HESAP MAK?NELER?
Baz?lar?n?n inan?lmaz ölçüde güçlü bir belle?i vard?r .Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolayl?k sa?layacak k?sayollar biliyorlard? .Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazl?ktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarl?yorlard? .Bu ki?iler gerçekte biraz farkl? insanlard?r .Örne?in , bundan iki yüzy?l once ya?am?? ?ngiliz J.Buxton yoksul bir çifçiydi .Hiçbir zaman okuma ve yazma ö?renmedi , hatta ka??da bir rakam yazmay? bile bilmiyordu .Gelgelelim , insanlar?n ona say?larla ilgili ne kadar ola?and??? ve beklemedik olursa olsun , sorduklar? sorular?n hepsine yan?t verebiliyordu .Örne?in , bir tarla dolusu saç telinin ne kadar olabilece?i sorusunu hemencecik yan?tlayabiliyordu . (Tabii ki bunu gerçekten saymaya kimsenin niyeti yoktu .)
Bir gün arkada?lar? çiftçiyi Londra’ya bir tiyatroya götürdüler .Oyunun sonunda Buxton arkada?lar?na ba? erkek oyuncunun 144445 sözcük söyledi?ini ve 5202 ad?m att???n? söyledi .Tabii oyunda ne oldu?uyla hiç ilgilenmemi? yaln?zca saym??t? .Y?llar once say?larla aras? iyi olan bu insanlar bir “bilgisayar” olarak çal???yorlard? .Bu insanlar?n yerini ?imdi makinelerin ald???n? duymak bizi ?a??rtm?yor .
Biz Neler Yapababiliriz ?
Asl?nda çok iyi bir belle?e sahip olmad?kça , bu tür i?lemleri yazmadan yapmak olanaks?zd?r .Ama yine de matematiksel i?lemlerde birkaç k?sayol bilirsek , i?lemleri kolayca ak?ldan yapabiliriz .Bu durum k?sa sure sonar bir oyuna da dönü?ecektir .Gerçekten de , fazla say?da k?sayol bulabilirseniz belki de siz de arkada?lar?n?za geçmi?te yap?ld??? gibi bir gösteri sunabilirsiniz .
Bu k?sa yollardan en ünlüsü 11 ile yap?la çarpma i?lemidir . Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarpt???n?z di?er say?lara (11 , 12 , 13 , 14 ve 15) ve çarp?m?n sonuçlar?ndaki say?lar?n ortalar?ndaki say?lara bakal?m .Örne?in 11.12 i?leminde sonuç 132 , 12’nin 1 ve 2 say?lar?n?n toplam? yani 3 , 132 say?s?nda ortaya geliyor ve 1 ve 2’de s?rayla 3’ün yanlar?na yerle?iyor .Çok kolay …
ASAL SAYILAR
Bir asal say? , birden büyük olan ve yaln?zca 1’e ve kendisine tam olarak bölünebilen say?d?r .Asal say?lar? bulmak için bir sürü bölme i?lemi yapmak gerekebilir .Ama biz bunu çizerek de yapabiliriz .
1.Bir say? seçelim .Bu say?y? yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim .Örne?in 3 say?s?n? seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak gösterece?iz .
2 .?imdi bu küçük kareleri düzenlemenin farkl? yollar?n? arayal?m .Herhengi bir say?n?n asal say? olup olmad???n? yapt???m?z karelere bakarak anlaman?n tek bir yolu var :E?er küçük karelerle dikdörtgen olu?turman?n kareleri yanyana dizmekten ba?ka bir yolu varsa bu say? asal say? de?ildir .
B?TT? !!!
Asal say?lar sonsuz say?dad?r .T?pk? 2’ye bölünebilen ya da 3’e bölünebilen say?lar?n sonsuz say?da olmas? gibi .Say?lar büyüdükçe yaln?zca bir bilgisayar bunlar? aramak için gerekli zamana ve sabra sahip olabilir .Bir insan?n bütün o hesaplamalar? yapmas uzun y?llar sürer .Yak?n bir zamanda ABD’de bir bilgisayar yard?m?yla ?imdiye kadar bulunmu? asal say?lar?n en büyü?ü ke?fedildi .Bu say? 2’nin 859 433 kez çarp?lmas?yla ortaya ç?kan say?dan 1 ç?kar?lmas?yla elde ediliyor .258 716 basamakl? bu say? öylesine uzun ki ancak sekiz gazete sayfas?na s??d?r?labiliyor.
Say? ve biçime ili?kin kavramlarla tan??mam?z Yontma Ta? Devri’ne kadar uzan?r .Yüzbinlerce y?l boyunca insanlar , hayvanlar?n ya?ad??? ko?ullardan pek farkl? olmayan bir biçimde ma?aralarda ya?ad?lar .Enerjilerinin ço?unu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harc?yorlard? .Avlanmak ve bal?k tutmak için silahlar? , birbirleriyle anla?mak için konu?ma dilini geli?tirdiler .Yontma Ta? Devri’nin sonlar?na do?ru da yarat?c? sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak ya?amlar?n? renklendirdiler .Fransa ve ?spanya’daki yakla??k 15.000 y?l öncesinin ma?ara duvar resimlerininayinsel bir anlam? olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlay??? gösteriyorlard? .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine geli?mi?ti ki , yüzlerce mil uzakl?ktaki köyler aras?ndaki ili?kilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bak?r?n daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yap?ld? .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da geli?mesine yol açt? .Bu dillerdeki nesnelerin ço?unlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az say?da olmas?na kar??n baz? say?sal terimler ortaya ç?kt? .Benim dü?üncelerime göre matemati?in ilk kez ortaya ç?kt??? ça? Maden Ça??d?r .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan akl?n?n ürünü en soyut dü?ünceler” olarak tan?mlad??? say?sal terimlerin kullan?lmaya ba?lanmas? çok yava? oldu .Bunlar ilk ortaya ç?kt?klar?nda bir cismin say?s?n? de?il niteli?ini gösteriyordu .Örne?in ; “bir insan” de?il sadece “insan” kavram?n? gösteriyordu .Say?sal kavramlar?n bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi baz? dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Say? kavram? geli?tikçe toplama yoluyla daha büyük say?lar olu?turuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
??te baz? Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin geli?mesi say? kavram?n?n netle?mesine yard?m etti .Say?lar , ticaret yaparken do?al bir yöntem olan bir ya da iki elin parmaklar? kullan?larak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak ?imdiki okullarda okuyan küçük s?n?flarda ki çocuklar?n sayma yöntemini verebilirim .Bu olay?n sonucunda önce 5 sonra 10 tabanl? say? sistemleri olu?turulup , bunlar toplama ve bazen ç?karma ile tamamland? .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak alg?land? .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklar?n?n toplam say?s? olan 20 kullan?ld? .Yap?lan ara?t?rmalara göre Amerikan yerlilerinin kulland??? 307 say? siteminden 146’s? onluk , 106’s? onluk , onikilik ve yirmilik say? sistemlerinin kar???m?yd? .Ço?u ki?i taraf?ndan yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok say? sisteminin olmas? önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onlar?n da en az bizim kadar zeki olduklar?n? anlad?m .Yirmili say? sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler taraf?ndan kullan?ld? .
Say?lar kümelere ayr?larak , tahtan?n üstüne çentik , ipin üstüne dü?üm at?larak ya da deniz kabuklar?n?n be?li y???nlar biçiminde düzenlenmesiyle say?sal kay?tlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hanc?lar?n?n çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarl???n do?u?u da denen yaz?l? tarihin ba?lang?c?ndan beri kullan?lm??t?r .
Yontama Ta? Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubu?u 1937’de Vestonica’da bulunmu?tur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunlu?undaki ön kol kemi?iydi ve üzerinde ilk 25’i be?li gruplar halinde düzenlenmi? 55 çentik bulunmaktayd? .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vard? .Yeni dizinin ba??ndaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten olu?an bir dizi izliyordu .
Böylece , s?k s?k söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayal?yd? .” görü?ü geçerlili?ini kaybetmi? oldu .Yaz? olmamas?na ra?men Yontma Ta? Devrin’deki insanlar?n çetele çubuklar?n? duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullan?larak say? saymak yani 5’erli 10’arl? saymak ancak toplumsal geli?imin belirli bir a?amas?nda ortaya ç?kar .Bu a?amadan sonra say?lar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük say?lar?n ortaya ç?kmas?na yard?m etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya ç?kt? .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20’nin 10+10 de?il de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma ba?lad? .Bölme , 10’un “vücudun yar?s?” olarak gösterilmesiyle ba?lad? , ama kesirlerin bilinçli bir ?ekilde olu?turulmas? hala çok enderdi .Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaç?nda böyle kesirler biliniyordu , ço?u durumda bu ½’ydi .Bazen 1/3
ya da ¼’de kullan?l?yordu .Bir ba?ka ilginç durum çok büyük say?lara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklü?ü ya da öldürülen dü?manlar?n çoklu?unu abartma iste?inin sonucudur .Bu e?ilimin kal?nt?lar? ?ncil’de ve di?er kutsal metinlerde de ortaya ç?kar .
Tarih Öncesi Ça?larda Geometri
Cisimlerin uzunluklar?n? ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullan?larak ; parmak , ayak , kar?? gibi basit ölçüler kullan?ld? .Ar??n , kulaç adlar? bize bu gelene?i hat?rlat?r .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yap?lar? düz çizgiler boyunca ve yere göre dik aç?yla yapmak için kurallar geli?tirdiler .Örne?in ; “Düz sözcü?ü “germek” sözcü?ü ile ilgilidir ve iple yap?lan i?lemleri gösterir .”Do?ru” ve “Keten kuma?” sözcükleri , dokumac?l?k ile geometrinin ba?lang?c? aras?ndaki ba?lant?y? gösterir .Dokumac?l?k ölçmeye ili?kin ilginin ba?lama yollar?ndan biriydi .
Cilal? Ta? Devri insan? geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pi?irilmesi ve boyanmas? , sazlar?n örülmesi , sepet yap?m? ve kuma? dokumac?l??? , daha sonra da metallerin i?lenmesi , düzlemsel ve alansal ili?kilerin kavranmas?n? geli?tirdi .Dans figürleri de bunda rol oynam?? olmal? ki Cilal?ta? Devri’nde yap?lan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; e? ?ekiller kullan?l?rd? .Baz? tarih öncesi desenler de üçgensel say?lar , baz?lar?nda ise “kutsal” say?lar yer al?yordu .Pisagor matemati?inde önemli rol oynayan üçgensel say?lar?n olu?turulma çabalar? yans?maktad?r .
Bu tür desenler tarih boyunca yayg?n olarak kullan?lm??t?r .Bunlar?n çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolar?nda , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar hal?lar?nda rastlan?r .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlam? olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana ç?km??t?r .
Ta? Devri dinlerinde , do?a güçlerine egemen olma çabas?n?n ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü ö?esi de o zamanlar var olan say? ve biçime ili?kin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli say?lar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vard? .Matemati?in toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikle?mi?se de insanl?k tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler aç?kça görülebilmektedir ve baz? yazarlar , matemati?in bu yönünün onun geli?iminde belirleyici oldu?u görü?ündedir .”Modern” say? bilimi , Cilal? hatta belki de Yontma Ta? Devri’nin büyü törenlerinin miras?d?r .
Zaman Kavram?
En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavr¤¤¤¤¤ rastlan?r ve bunun sonucu olarak da Güne? Ay ve y?ld?zlar?n hareketleriyle ilgili baz? bilgileri edinmi?lerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geli?tikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya ba?lad? .Bitkilerdeki de?i?imlerin Ay’daki de?i?imlerle ili?kilendirildi?i Ay takviminin kullan?lmas? , insanl?k tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzan?r .?lkel insanlar gündönümünü ya da ?afakta yedi y?ld?zl? Süreyya burcunun yükseli?ini ilgiyle izliyordu .?lk uygarl?klar? kuran insanlar?n astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayan?yordu .?lk insanlar , tak?m y?ld?zlar?ndan denizcilikte yararland?lar .Astronomiye ili?kin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve aç?sal yönlerin özellikleri hakk?nda bilgi edinildi .
Matemati?in ba?lang?c?na ili?kin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel geli?iminin , ?imdi bu alandaki ö?retimde geli?tirdi?imiz a?amalarla çak??mayabilece?ini göstermektedir .?nsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan dü?ümlere ve desenlere ancak son y?llarda bilimsel bir ilgi gösterilmi?tir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matemati?in temel dallar?n?n ba?lang?c? modern zamanlardad?r .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda ?öyle dü?ünmektedir :
“Matemati?e giri?in do?as?nda var olan s?k?c?l???n ön plana ç?kma e?iliminin geç ba?lang?c?n?n sonucu oldu?u söylenebilir ; çünkü yarat?c? bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle u?ra?may? ye?ler .”
ESK? UYGARLIKLARIN MATEMAT?KLER?
Do?u Matemati?i
Do?u matemati?i uygulamal? bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanmas? , tar?msal üretim ve bay?nd?rl?kla ilgili i?lerin örgütlenmesi , vergilerin toplanmas? uygulamal? aritmetik ve ölçme sorunlar?na öncelikle a??rl?k verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte , yüzy?llar boyunca özel bir zanaat olarak geli?en bilim yaln?zca uygulamaya yönelik de?ildi ; s?rlar ö?retilirken , soyutlamayayönelik e?ilimler de ortaya ç?kt? .Aritmeti?in cebire dönü?mesi yaln?zca daha pratik hesaplamalar sa?lad??? için olmad? ; bu , ayn? zamanda yaz?c? okullar?nda ö?retilen bir bilimin do?al bir geli?imiydi .Ayn? nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin ba?lang?c?n? olu?turdu .
M?s?r Matemati?i
M?s?r matemati?ine ili?kin bilgilerimizin ço?u iki kayna?a dayan?r .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 y?l öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü’dür .Bu elyazmalar? düzenlenirken , içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yak?n dönemden , hatta Roma döneminden kalma az say?daki papirüsteki yöntemler de bundan farkl? de?ildi .Kulland?klar? matematik onlu say? sistemine dayan?yordu ve 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullan?l?yordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlar?ndan biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan M?s?rl?lar , çarpmay? ard???k toplamalara indirgeyen , toplama a??rl?kl? bir aritmetik geli?tirdi .Örne?in , bir say?y? 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8’le çarp?yorlard? daha sonra ç?kan sonucu say?n?n kendisine ekliyorlard? .Bu i?lemi yaparak inceleyelim :
Normal çarpma i?lemi :3´13=39
M?s?rl?lar?n kulland??? yöntem :
3´4 =12
3´8 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldü?ü gibi sonuç ayn? .M?s?r matemati?inin en önemli yönü kesirlerle yap?lan hesaplamalard?r .Bütün kesirler , pay? bir olan birim kesirlerin toplam? olarak yaz?l?rd? .
Baz? problemlerin teorik yanlar? a??r bas?yordu .Örne?in 100 somun ekme?i 5 ki?i aras?nda , her birine dü?en pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 pay?n toplam?n?n yedide biri en küçük iki pay?n topl¤¤¤¤¤ e?it olacak biçimde bölü?türülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi , her kedinin kovalad??? 7 farenin oldu?u problem , geometrik olarak artan bir serinin toplam?n?n formülünü bildiklerini gösteriyordu .
Böyle problemler için yaz?lm?? ?iirler , ?ark?lar bile vard?r .?u ?iiri an?msayal?m :
“St. Ives’e giderken
7 kar?s? olan bir adamla kar??la?t?m
Her kar?s?n?n yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vard?
Her yavrununda yedi ç?ng?ra?? vard?
Yavrular , kediler , sepetler , kad?nlar ve ç?ng?raklar
Kaç tanesi St. Ives’e gidiyordu?
Mezopotamya Matemati?i
Mezopotamya matemati?i , M?s?r matemati?inin hiçbir dönemde ula?amad??? bir düzeye eri?ti .Burada yüzy?llar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100’deki en eski metinlerde bile geli?mi? hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10’lu sistemin üzerine 60’l? sistemin eklendi?i çarp?m tablolar? bulunmaktayd? .1 , 60 , 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2’yi gösteren çiviyaz?s? simgeler kullan?lm??t? .Ama bu onlar?n matemati?inin tipik özelli?i de?ildi .M?s?rl?lar daha büyük her say?y? yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler ayn? simgeyi kullan?p de?erini bulundu?u yere göre belirliyorlard? .
Ayr?ca 60’l? say? sistemi insanl???n kal?c? bir kazan?m? oldu .Günümüzde kulland???m?z saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de , dairenin 360 dereceye , her derecenin 60 dakikaya , her dakikan?n da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler’e kadar uzan?r .Birim olarak 10 yerine 60’?n al?nmas?n?n sebebi ölçme sistemlerini birle?tirmek olabilece?i gibi 60’?n birçok böleninin olmas? da nedenlerden biri olabilir .
MISIR H?YEROGL?FLER?
E?er yaz?lar?n?z? eski M?s?r hiyeroglifleriyle yazarsan?z ço?u ki?i bunlar? okumaya çal??maktan vazgeçecektir .
Eski M?s?r Hiyeroglifleri’nden M?s?r rakamlar?n? ö?renmek çok kolayd?r ; çünkü hepsinin bir görsel anlam? vard?r .Büyük bir olas?l?kla yaz? yazmaya ba?lamadan once M?s?rl?lar , say? saymak için parmaklar?n? kullan?yorlard? .Ba?ka birinin okumas? için say? düzenlemeleri gerekti?inde de , yine büyük bir olas?l?kla , yan yana s?ralanm?? yapraklar , ip parçalar? ve çiçekler b?rak?yorlard? .Neden mi böyle dü?ünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yaz? sistemini geli?tirdiklerinde , yaprak ip parçalar? , çiçek ve hatta y?lan ve iriba?lar kullanm??lar .
S?H?RL? MATEMAT?K
Say?lar ?a?maz .Bu matemati?in temelidir .Hüner , bu say?lar? yerinde kullanabilmekte ve aralar?ndaki ba??nt?lar?n özelli?ini tan?yabilmektedir .
Biz de istersek , küçük bir çaba ile matemati?in sihirli yönünü tan?yabiliriz .Tam say?lar aras?ndaki dört i?lemi yapabilen her ö?renci bu matematik oyunlar?n? ö?renebilir ve uygulayabilir .
Oyun 1 :Kar??n?zdakinin hangi ay ve günde do?du?unu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki kar??n?zdaki ?u iste?inizi s?ras?yla yerine getirsin .
Do?du?u ay kaç?nc? ay ise onu 5 ile çarps?n .7 eklesin .4 ile çarps?n .Sonra 13 eklesin .5 ile çarps?n .Ç?kan say?ya do?um gününü eklesin .Ç?kan say?y? sorun ve bu say?dan 205 say?s?n? ç?karmas?n? isteyin .Sonuçta ilk rakam do?du?u ay , di?er iki rakam ise do?um günüdür .
Oyun2 :Arkada??n?z?n ya?? ile birlikte ev numaras?n? da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numaras?n? iki ile çarps?n .Haftan?n? günlerini eklesin .Ç?kan? 50 ile çarps?n .Ya??n? eklesin 365 ç?kars?n .15 eklesin .Elde edilen say?n?n son iki rakam? ya? ondan öncekiler ev numaras?d?r .
Oyun3 :Ço?unuz do?um gününüzün y?l?n kaç?nc? ay? ve günü oldu?unu bilirsiniz de Bunun haftan?n hangi gününe rastlad???n? kesin olarak bilemezsiniz .Ya da tarih kitaplar?nda ?öyle bir tarih görürsünüz .4 Temmuz 1862 .Acaba bu tarih haftan?n hangi gününe rastl?yor diye merak edersiniz .?imdi yapaca??m?z i?lem bu günü bulamam?z? sa?layacakt?r .
Do?um y?l?n?z?n son iki rakam?n? yaz?n .Örne?in , siz 1990’da may?s?n 25’inde do?mu? olsan?z , ilk yazaca??nn?z say? 90’d?r .Bunu dörde bölün .Artan varsa at?p tam bölümü al?n .Örnekte bu 22’dir .A?a??da anahtar?n? verdi?imiz do?uma ay?na ait rakam? al?n .Bu örnekte anahtar 2’dir .Ay?nc? kaç?nc? gününde do?mu?san?z o say?y? da al?n .Bu örnekte 25’dir .?imdi 1,2,3,4 numaral? anlat?mlardaki say?lar? toplay?n .Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakam? 7’ye bölün .Bölümü at?n , kalan? al?n .Kalan say?yla 2.sonuç levhas?nda do?um gününüzü bulabilirsiniz .
Anahtar Say?lar :Ocak 1 , ?ubat 4 , Mart 4 , Nisan 0 , May?s 2 , Haziran 5 , Temmuz 0 , A?ustos 3 , Eylül 6 , Ekim 1 , Kas?m 4 , Aral?k 6 .
Sonuç Levhas? : 2 Pazartesi , 3 Sal? , 4 Çar?amba , 5 Per?embe , 6 Cuma , 0 Cumartesi , 1 Pazar .
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Do?um y?l?n?z art?k y?l yani 366 günlük y?l ise , anahtar levhas?nda ?u de?i?ikli?i yap?n?z : Ocak 0 , Haziran 3 .
MATEMAT?K B?LEN ALDANMAZ
A. Paulosbirincisi kurmaca , ikincisi gerçek olan iki öykü anlat?yor .
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmi? dola??yorlar .Biri di?erine , “Bulabildi?in en büyük say?y? söyle bakal?m diyor .” ?kincisi biraz dü?ündükten sonar sevinçle “ÜÇ” diye hayk?r?yor .Soru soran bir süre dü?ündükten sonar , pes ediyor ve oyunu kaybediyor .
?kinci öyküyse , matematikçi G. H. Hardy’yle ba?ka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujan’? ziyarete gitmi? .Laf olsun diye söze ?öyle ba?lam?? : “Gelirken bindi?im taksinin numaras? çok s?radand? :1729 “Romanujan hemen at?lm?? :”S?radan olur mu hiç ?… Son derece ilginç bir say? bu ! ?ki farkl? biçimde iki say?n?n küpünün toplam? olarak yaz?labilecek en küçük say? bu !”(Merakl?lar? için verelim .12 ve 1 , 10 ve 9’un küpleri sonucu sa?l?yor.)
Ramanujan , büyük say?larla bile karma??k i?lemler yapmada ustala?m?? biriydi .Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes etti?ine gore belli ki 3’ten daha büyük bir say? hayal edemiyor .Bu ilk bak??ta inan?lmaz gibi görünebilir .Yine de hemen aldanmay?n .Avustralya’daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3’e kadar bile tam anlam?yla sayam?yorlar .Bu insanlar?n dillerinde sadece 1 ve 2’yi anlatan sözcükler var .3 için biriki , 4 için ikiiki .4’ten sonraki tüm say?lar ise “çok” .Asl?nda çok büyük say?lar? anlatman?n çok çe?itli yollar? var .Sözgelimi birin pe?ine kaç tane 0 koydu?umuzu söyleyebiliriz .
CANLI HESAP MAK?NELER?
Baz?lar?n?n inan?lmaz ölçüde güçlü bir belle?i vard?r .Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolayl?k sa?layacak k?sayollar biliyorlard? .Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazl?ktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarl?yorlard? .Bu ki?iler gerçekte biraz farkl? insanlard?r .Örne?in , bundan iki yüzy?l once ya?am?? ?ngiliz J.Buxton yoksul bir çifçiydi .Hiçbir zaman okuma ve yazma ö?renmedi , hatta ka??da bir rakam yazmay? bile bilmiyordu .Gelgelelim , insanlar?n ona say?larla ilgili ne kadar ola?and??? ve beklemedik olursa olsun , sorduklar? sorular?n hepsine yan?t verebiliyordu .Örne?in , bir tarla dolusu saç telinin ne kadar olabilece?i sorusunu hemencecik yan?tlayabiliyordu . (Tabii ki bunu gerçekten saymaya kimsenin niyeti yoktu .)
Bir gün arkada?lar? çiftçiyi Londra’ya bir tiyatroya götürdüler .Oyunun sonunda Buxton arkada?lar?na ba? erkek oyuncunun 144445 sözcük söyledi?ini ve 5202 ad?m att???n? söyledi .Tabii oyunda ne oldu?uyla hiç ilgilenmemi? yaln?zca saym??t? .Y?llar once say?larla aras? iyi olan bu insanlar bir “bilgisayar” olarak çal???yorlard? .Bu insanlar?n yerini ?imdi makinelerin ald???n? duymak bizi ?a??rtm?yor .
Biz Neler Yapababiliriz ?
Asl?nda çok iyi bir belle?e sahip olmad?kça , bu tür i?lemleri yazmadan yapmak olanaks?zd?r .Ama yine de matematiksel i?lemlerde birkaç k?sayol bilirsek , i?lemleri kolayca ak?ldan yapabiliriz .Bu durum k?sa sure sonar bir oyuna da dönü?ecektir .Gerçekten de , fazla say?da k?sayol bulabilirseniz belki de siz de arkada?lar?n?za geçmi?te yap?ld??? gibi bir gösteri sunabilirsiniz .
Bu k?sa yollardan en ünlüsü 11 ile yap?la çarpma i?lemidir . Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarpt???n?z di?er say?lara (11 , 12 , 13 , 14 ve 15) ve çarp?m?n sonuçlar?ndaki say?lar?n ortalar?ndaki say?lara bakal?m .Örne?in 11.12 i?leminde sonuç 132 , 12’nin 1 ve 2 say?lar?n?n toplam? yani 3 , 132 say?s?nda ortaya geliyor ve 1 ve 2’de s?rayla 3’ün yanlar?na yerle?iyor .Çok kolay …
ASAL SAYILAR
Bir asal say? , birden büyük olan ve yaln?zca 1’e ve kendisine tam olarak bölünebilen say?d?r .Asal say?lar? bulmak için bir sürü bölme i?lemi yapmak gerekebilir .Ama biz bunu çizerek de yapabiliriz .
1.Bir say? seçelim .Bu say?y? yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim .Örne?in 3 say?s?n? seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak gösterece?iz .
2 .?imdi bu küçük kareleri düzenlemenin farkl? yollar?n? arayal?m .Herhengi bir say?n?n asal say? olup olmad???n? yapt???m?z karelere bakarak anlaman?n tek bir yolu var :E?er küçük karelerle dikdörtgen olu?turman?n kareleri yanyana dizmekten ba?ka bir yolu varsa bu say? asal say? de?ildir .
B?TT? !!!
Asal say?lar sonsuz say?dad?r .T?pk? 2’ye bölünebilen ya da 3’e bölünebilen say?lar?n sonsuz say?da olmas? gibi .Say?lar büyüdükçe yaln?zca bir bilgisayar bunlar? aramak için gerekli zamana ve sabra sahip olabilir .Bir insan?n bütün o hesaplamalar? yapmas uzun y?llar sürer .Yak?n bir zamanda ABD’de bir bilgisayar yard?m?yla ?imdiye kadar bulunmu? asal say?lar?n en büyü?ü ke?fedildi .Bu say? 2’nin 859 433 kez çarp?lmas?yla ortaya ç?kan say?dan 1 ç?kar?lmas?yla elde ediliyor .258 716 basamakl? bu say? öylesine uzun ki ancak sekiz gazete sayfas?na s??d?r?labiliyor.